円運動の速度と加速度

円運動の速度と加速度はどうやって求めるんだったかな、と高校物理レベルのことが気になって、やってみた。

原点を中心とする半径rの円上を質点が等速円運動しているとする。その角速度をωとする。

質点の位置(x,y)は

x=rcosωt

y=rsinωt

だから速度はそれをtで微分した

dx/dt=-rωsinωt

dy/dt=rωcosωt

となり速度の大きさvは

v=√((-rωsinωt)^2+(rωcosωt)^2)=rω

となる。



位置ベクトルr=(x,y)=(rcosωt,rsinωt)

速度ベクトルv=(dx/dt,dy/dt)=(-rωsinωt,rωcosωt)

内積

rv

=-r^2ωcosωtsinωt+r^2ωsinωtcosωt=0

なので、位置ベクトルrと速度ベクトルvは直交する。つまり速度の方向は半径と垂直の方向である。

 

加速度は速度をtで微分した

d^2x/dt^2=-rω^2cosωt

d^2y/dt^2=-rω^2sinωt

となり、加速度の大きさaは

a=√((-rω^2cosωt)^2+(-rω^2sinωt)^2)=rω^2

となる。

 


加速度ベクトルa=(d^2x/dt^2,d^2y/dt^2)=(-rω^2cosω,-rω^2sinωt)=(-ω^2x,-ω^2y)=-ω^2r

なので、速度ベクトルvと加速度ベクトルaは直交する。加速度の方向は円の半径方向で、a=-ω^2rの符号から、円の中心向きである。

 

 

こういう計算をしてみなくても、次元解析で考えれば、与えられている値は、半径r(次元は長さ)と角速度ω(次元は1/時間)だけなので、速度(次元は長さ/時間)、加速度(次元は長さ/時間^2)は、それぞれ、rω、rω^2、になると分る。